話題の宮城県H30年度数学前期入試最終問題を解いてみた

みなさんこんにちは。先日、前期公立高校入試があり数学の最終問題が難しすぎると話題になりましたね。かく言う筆者も受験生なので本番に解こうと試みましたが、2分で諦めました（後で捨てて良かったと内心安堵しました）とは言っても解けないのは少し癪だったので数学の先生のご指導の下、解いてみましたので解法を書いていきたいと思います。計算過程は筆者がタイピングするのが面倒なのでちょっとカット。

書き忘れましたが、その前の問題で△AOC≡△DOC、OC=√13cm、AD=12√13/13cm が分かっています。

このように3本の補助線を引きます。

それぞれ∠AOC=○,∠ACO=×とすると、○＋×＝90度　となることや、相似、二等辺三角形などに着目すると、図のようになります。∠AIO＝∠ADB=90度からDB∦COとなります。ここからが本番です。

今回着目するのは　四角形EGFD＝△CDF－△CEG　です。

△CDF＝CD×DF×1/2 よって　3×DF×1/2

△CEG=CH×GE×1/2  よって　2×GE×1/2 となります。

DFの出し方

BD∦OCから△COF∽△BDFに着目。

CO：BD＝OF：DF　よりDFをXと置くと、OF＝2－X　からBDが分かればよいので、△ABDで三平方の定理から　BD＾2＝4＾2－（√13）＾2　よってBD＝8√13/13 より

√13：8√13/13＝（2－X）：X　よってDF＝16/21

GEの出し方

図から△CEOは二等辺三角形なのでCE=OE、CEをYと置くと

OE=Y　CD=3からDE=3－Y　よって

△ODEで三平方の定理から　Y＾2＝2＾2＋（3－Y）＾2　よって　Y=13/6

また、△CABで中点連結定理よりGO=3/2 

EG=EO－GO　よってEG＝13/6－3/2   EG=2/3 

△CDF＝3×16/21×1/2=8/7

△CEG＝2×2/3×1/2=2/3

四角形EGFD＝△CDF－△CEG   よって

8/7－2/3=10/21

A.10/21 ㎠

という解法でした。これを時間内に解ける人は本物の天才なのでハーバードへ飛び級してどうぞ。予想では正答率0％もあり得ると思います。分かりにくい所や、間違っている箇所等ありましたらコメント下さい。はてなブログできちんとした数式を打つのは手間なのでそこはご容赦下さい。最後まで見て下さりありがとうございました。